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数学与数学家的故事: 读 P. 埃尔笛希 

贺一

P. 埃尔笛希，(1913 -1996)"The Man Who Loved only Numbers---The Story 
of Paul Erd?s and the Search of mathemetical truth" by Paul Hoffman. 
Fourth Estate Limited, 1998) 

美籍匈牙利数学家，(Erd?s---按其正确的读音，译作埃尔笛希)这是一个不是数
学家的人所写的数学家。埃尔笛希有不少故事，确实是比较个别的。但书中除了
我们以前所看到过的，如“一个心不在焉的数学家的故事”所乐道的那类轶事之
外,也很有一些有趣的。 

埃尔笛希一生发表过1475篇学术论文。许多篇是有重大意义的，所有的都是有意
义的。(Many of them monumental, and all of them substantial)。数学家们
用埃尔笛希数来表示与埃尔笛希的合作关系。他有过485个合作者，这些数学家
的埃尔笛希数就是1.如果你和这485个数学家中的一个合作写过数学论文，你的
埃尔笛希数就是2，余类推。 

--数学是最纯粹的秩序和美，是超越物质世界的秩序。当欧几里德在公元前三世
纪时说到点和线时，他指的是理想元素：没有大小的点和没有宽窄的线。 

--数字也有一种超越性。素数是只能被1和自身整除的数，如2，3，5，7，11，
13，17等。我们正好有十个手指，所以用十进制。但即使有着二十六个指头，从
而用26进制，有同样性质的素数也同样存在。素数是数字的元素。所有的数或者
是素数，或者是素数的乘积。 

--目前为止(1998)，最大的素数2的3，021，377次方减1，是一个909，526位数。
这个素数是在一九九八年一月二十七日，由GIMPS-(互联网莫尚素数大搜索
--Great Internet Mersenne Prime Search)的一个成员，加州大学二年级学生，
19岁的饶兰·克拉克森发现的。其实他只是GIMPS的4000多个成员组之一中的一
个成员。在GIMPS中，他侥幸地分到了这个搜索的数字段。在一台200MHz的奔腾
机上，在运行程序46天后，终于证明这是个素数。 

-- 莫尚素数得名于莫尚，Mersenne,十七世纪巴黎一个修道士。他修道之余或之
中经常地寻找素数。莫尚数即形式如：2^n-1的数。一个莫尚数是素数的条件是n
必须是素数。但n是素数并不代表这个莫尚数是素数。比如2^11-1=2047=23*89。
莫尚曾声称 2^67-1是素数。250年无人质疑。到1903年，哥伦比亚大学的法兰克。
科尔在一次美国数学学会的会议上，“他走向黑板，默默地拿起粉笔，写下
2^67-1=147，573，952，589，676，412，927。然后，继续默默地在另一边写下：
193，707，721*761，838，257，287。热烈鼓掌中，科尔安静地走回自己的位置。
整个过程他无一言，大家无一个问题。“莫尚的猜想从此消失了”(据另一位数学
家的回忆)

--数学家们对素数一直有着魔般的魅力。尽管看起来如此简单，但其所有的特性
却极其难以把握。1742年克里斯提安.哥德巴赫提出著名的哥德巴赫猜想：所有
的大于二的偶数都是两个素数的和。埃尔笛希说其实笛卡尔比哥德巴赫更早提出
这个猜想，“不过，最好还是算给哥德巴赫”，埃尔笛希继续说，“因为从数学
上说，笛卡尔富得无边而哥德巴赫穷得可怜”。

-- 对于数字美的迷恋也能出格。毕达哥拉斯学派(毕达哥拉斯--Pythagoras，公
元前三世纪的数学家)就崇拜整数和简单分数。当一个弟子发现根号2以后，(这
对于与中国人的勾股定理争夺三角第一定律的毕达哥拉斯学派来说，从等边直角
三角形到根号2不会遥远)，毕达哥拉斯极其恼怒，故事说他先是严厉地，秘密地
警告他不能扩散。在当他最后还是扩散后，没说是出于正直还是其它，毕达哥拉
斯处死了他。按埃尔笛希的说法，这即所谓毕达哥拉斯丑闻(Pythagoras 
Scandal)。

毕达哥拉斯对数字有很多发现。比如“朋友”数字。毕达哥拉斯认为朋友就是另
一个自我(这很象许多流行的警语，一个精彩的箩筐，能往里放很多喜欢的东西)。
数字里也有朋友，220和284，每一个都等于对方除数的和。(220的整除数有：1 
2 4 5 10 11 20 22 44 55 110，和为 248，248的整除数有：1 2 71 142，其和
为 220)。另一对朋友数字是到两千多年后的1636年，由费尔马(Pierre de 
Ferman)发现的: 是17296和18416。后来的数学家们又发现了许多。值得一提的
是其中大约第六十对，也是最小的一对1184和1210，是在1866由一个十六岁的意
大利学生发现的。毕达哥拉斯更喜欢完美数，即其所有整除数的和为自身。如6
的整除数为1 2 3，其和为 6， 28的整除数为 1 2 4 7 14，其和为 28。除6和
28外，古希腊人还知道496和 8128，第五个完美数33，550，336是七百多年后发
现的。到一九九八年四月，共发现有37个完美数，都是偶数。

--在此书中，有一些中国数学家的名字。但没有陈景润，即使在谈到哥德巴赫猜
想时也没有。事实上也没有多谈哥德巴赫猜想研究的后续进展。但华罗庚的名字
出现过几次，事由是这样的。作为一个匈牙利犹太人，1934年埃尔笛希由于政治
原因离开了匈牙利，开始了他的“数学”流浪--以数学为能量的位置的迁移。先
在英国四年。在剑桥接识哈代(G. H. Hardy)。后到美国，若干年后流浪不再仅
以数学为能量了。由于他与匈牙利的联系和冷战的加剧，FBI对他变得很有兴趣。
1954年，为参加阿慕斯特丹一个数学会议，埃尔笛希行前申请回程签证。移民官
员的问题有这些：“你读过马克思，恩格斯或斯大林吗？”，“你怎么看马克
思？”等等。 

对于前者埃尔笛希简单地答没有，对于后者他说“我没有资格作判断，但无疑他
是伟大的人”(" I'm not competent to judge, but no doubt he was a great 
man")。这样的回答显然不好，但事实上是下一个问题更致命。问题是：“如果
回到匈牙利，而且能再离开，你会访问匈牙利吗？”。“当然，我的母亲在那里，
我有许多朋友在那里。” 在麦卡锡的年代，承认想去共产党匈牙利是不行的。
埃尔笛希申请回程被拒了，经过律师的上诉也失败了。不过律师看到了埃尔笛希
的卷宗，被出示了埃尔笛希给华罗庚的信。那种典型的埃尔笛希信：“亲爱的华，
设P是一个奇素数，而...，”然后是很多很多数学符号，不错，的确很像密码。 

埃尔笛希辞去工作，被收回绿卡，起程前往阿慕斯特丹。但荷兰和英国都不容他
久留，还是以色列后来收留了他。埃尔笛希不放弃匈牙利互照，拒绝成为以色列
公民。 1955年后，埃尔笛希访问了匈牙利。执政者，被匈牙利的数学家们说服，
给他以特殊的护照，可以任意出入匈牙利。1656年匈牙利事变后的卡达尔也给他
保留了这个特殊护照，这是只对埃尔笛希一个人的。 到1959年，埃尔笛希又得
到签证去美国参加数学会议。条件是必须有人在美国全程陪同，而且会议一完，
立即出境。埃尔笛希和他的美国同事们一直在争取他的自由居留。1963年埃尔笛
希回到美国，而且以后每年回匈牙利。 

---作为外行，我可以体会数字美的简明和一致，特别是在经历人生美的多变和
暂在时。但自己经常不清楚理论数学的实际意义。读一遍后还是。比如，据数学
家们的数学统计，现在每一年发表的数学定理，大约是二十万个。大部份是没用
的，甚至没有人细看的。如果社会资源的使用完全理性的话，比如完全由数学家
们去设计的话，也会这样吗。这里不仅是钱的问题，我明白数学家们所用的物资
资源比别的绝大部份人的类别所用的相比，数量极少而效用极大。但精神资源呢，
人类智力资源最精华的部份呢？ 

数学与生活的关系可以表现得多采多样。数学和数学家们有时和大众也非常接近，
特别是那种智力题，古今中外，老少都喜欢。电视上有过一个著名的“山羊与汽
车”的问题曾引起过小热闹。题目如下：台上有三个门，一个后边有汽车，其余
后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个，你看
到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。
那么，你换不换？ 

当时有一个在"Parade"杂志上主持"Ask Marilyn"专栏的玛莉莲(Marilyn vos 
Savant)很受欢迎, (据说她的智商228，是智商的吉尼斯记录保持者).她回答读
者说应该换时，很多读者不同意，包括许多数学家。玛莉莲在下一期专栏给出一
个事件列表说明她的道理，但反对声更多更大了。在几千封信里，反对者占十分
之九，(当然，一般是反对者更有劲写信)。其中有全国健康机构的统计学家，还
有国防情报中心的副主任等等。许多人用词尖锐刻薄，也有一些慷慨激昂。 

话说到此，你认为如何，到底换也不换？ 

这个问题的答案是换。如果你错了，不要生气，因为连埃尔笛希也错了。如果你
知道自己错了，马上就开始思考对方的道理而又不恼怒, 那看来你不像是数学家,
起码不像伟大的埃尔笛希. 埃尔笛希当时可是气坏了。 

在第三次为此题目的专栏里( 1991年2月17日)玛莉莲最后是这样说服大家的：假
如当主持人打开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个
门中任选一个，有车的概率确实都是%50。但你不是刚到，你有优势，因为主持
人帮助过你了，他为你在其余两个门中作了预选。你换了后，概率就由三分之一
提高到三分之二了。 

据书中所言，这个问题经常引起激烈和情感化的争辩，并导致不愉快的结局。读
此书以前我自己也是先搞错了的。也有过头脑发热的争辩。我想，争辩大都是对
自己数学感觉好的人不服气引起的。而偏偏数学感觉好的人在此又很容易错。这
里有些有意识或无意识的心理活动过程. 

应用数学和生活的关系要紧密得多. 我运用数学是证明过吃牛肉有道理,就在英
国那一阵疯牛病很吓人的时候.我的理由是据所有可见的证据, 吃牛肉而引起人
体病变的几率约为几百万分之一, 远远低于开车引起车祸的几率. 这些都是所谓
"小概率"事件. "小概率"事件也应该考虑, 但不应该干扰正常的,既定的生活. 
车既然照开, 则牛肉是该照吃的. 

几次三番, 别人不知信不信, 我自己倒被自己说服了. 于是牛肉是照吃不误的, 
同理现在羊肉也照吃.当然很年轻的朋友们还是应该比较珍重自己的.过份与否心
里有数就行了. 

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